引言
霧狀流是一種特殊的氣液兩相流，其中氣相占絕大部分為連續(xù)相，液相僅占一小部分并以離散形式分布于氣相之中[1]。智能渦街流量計應用廣泛，有時由于條件的變化，智能渦街流量計測量的流體會為霧狀流。例如，天然氣從地下開采時會攜帶少量液體；蒸氣由于溫度降低會部分液化。在以上這些情況發(fā)生時被測氣體變?yōu)殪F狀流，從而引起智能渦街流量計的測量誤差。對于Venturi流量計由于其原理簡單，已有很多成熟的多相流模型[2-3]，與Venturi流量計不同，雖然渦街流量計已用于多相流測量，但由于Karman渦街現(xiàn)象涉及復雜的鈍體繞流問題[4]，很少有關(guān)于智能渦街流量計的多相流模型見諸于文獻。本文從單相流模型出發(fā)建立了霧狀流條件下的渦街流量計修正模型。
一些研究者用數(shù)學的方法描述了渦街的脫落過程。Birkhoff[5]將Karman渦街的脫落看作是魚尾的擺動過程，用魚尾上的慣性力平衡尾跡中的水恢復力建立方程，給出了旋渦脫落模型
（1）
式中 I為慣性力，N；α為魚尾擺動角位移，m；k為尾跡中水恢復力，N。Karman將渦街描述為一個兩列交錯排列的渦鏈，相鄰渦的旋轉(zhuǎn)方向相反，由于渦之間的相互作用以及流體本身對流場的擾動，造成渦街現(xiàn)象的不穩(wěn)定性。Karman[6]利用平均勢流理論推導出Karman渦街穩(wěn)定性條件，給出了出現(xiàn)穩(wěn)定Karman渦街現(xiàn)象的條件，即
（2）
式中 h為兩列渦之間的距離，m；l為兩個相鄰渦之間的距離，m。Karman給出的渦街穩(wěn)定條件是一種理想情況，在實際條件下，會有25%的變化范圍。
Roshko[7]從測量角度，給出了在低Reynolds數(shù)范圍內(nèi)（50<Re<150），Stanton數(shù)（St）和Re之間的經(jīng)驗公式
（3）
Berger等[8]給出了較高Reynolds數(shù)范圍內(nèi)（300<Re<15000）St和Re之間的經(jīng)驗公式
（4）
為了描述Karman渦街旋轉(zhuǎn)區(qū)域幾何和物理參數(shù)，Karman[6]將渦街結(jié)構(gòu)與動量方程結(jié)合，得到了渦街結(jié)構(gòu)參數(shù)隨阻力變化的關(guān)系，Ahlborn等[9]依據(jù)Karman的方法對Karman渦街模型進行了研究，取得了很好效果。他們將Karman渦街的脫落傳播過程看作一種波的傳遞，傳遞過程遵循質(zhì)量守恒、能量守恒和動量守恒。其研究成果揭示了Karman渦街中旋渦直徑、旋轉(zhuǎn)速度、脫落頻率、尾流尺寸以及阻力系數(shù)等多個參數(shù)之間的相互關(guān)系以及它們隨Reynolds數(shù)的變化規(guī)律。Ahlborn提出的數(shù)學模型與以往研究者的實驗數(shù)據(jù)具有較好的一致性，適用條件廣，預測準確性高。
本文在Ahlborn的研究基礎(chǔ)上，從能量守恒的角度出發(fā)，對霧狀流中渦街的運動特點進行了研究，包括液相與氣相的相互作用以及液相在旋渦中運動特點，zui后建立了霧狀流中渦街傳遞的能量守恒方程，推導出St隨液相含率變化的關(guān)系，建立了智能渦街流量計霧狀流測量的修正模型。
1 波傳遞理論
1.1 旋渦發(fā)生體受力分析
黏性流體在經(jīng)過旋渦發(fā)生體時，發(fā)生體會受到流體的壓強和切向應力的作用，這些力的合力一般可分解為與來流方向一致的阻力Fd和垂直于來流方向的升力F1，如圖1所示。
圖1 渦街發(fā)生體受力
根據(jù)Tomson定律，渦街發(fā)生體后產(chǎn)生一個旋渦時，會在其他地方相應產(chǎn)生一個方向相反的環(huán)量，以保證合環(huán)量為零。根據(jù)Zhukovski[10]的升力理論，由于這個環(huán)量的存在，會在旋渦發(fā)生體上產(chǎn)生升力Fl，該升力垂直于來流方向。作用在旋渦發(fā)生體上單位長度的升力為
（5）
式中 cl為升力系數(shù)；ρ為流體密度，kg•m-3；U為來流流速，m•s-1；D為旋渦發(fā)生體截流面寬度，m。
由于Fd與流體運動方向相反，起著阻礙流體運動的作用所以稱為阻力。阻力可分成兩部分：一部分是由于流體的黏性在渦街發(fā)生體表面上的切向應力形成的摩擦阻力；另一部分是由于邊界層分離，物體前后形成壓強差而產(chǎn)生的壓差阻力。摩擦阻力遠小于壓差阻力可忽略，因此對于旋渦發(fā)生體，其阻力用式（6）計算
（6）
式中 cd為阻力系數(shù)。
1.2 基于波傳遞的渦街機械能守恒
Ahlborn將渦街的傳遞看作是一種波的傳遞，傳遞過程中遵守能量守恒，如圖2所示，其中一個波長包括兩個旋轉(zhuǎn)方向相反的渦。Ahlborn認為Karman渦街在以波的形式傳播過程中，其傳播能量可以看作是由旋渦發(fā)生體截流面上阻力做功所提供[7]。整個截流面上的阻力FD為單位長度上的阻力與截流面面積A的乘積，表達式為
（7）
式中 H為旋渦發(fā)生體的徑向高度，m。
圖2 Karman渦街結(jié)構(gòu)
波長用式（8）計算，其中f為旋渦脫落的頻率
（8）
旋渦發(fā)生體截流面上的阻力做功W為
（9）
流速和旋渦脫落的頻率具有以下關(guān)系
（10）
將式（10）代入式（9），阻力做功可以寫為
（11）
當Reynolds數(shù)足夠大時，在一個波長的能量中，由于黏性耗散損失的能量遠小于由阻力做功所產(chǎn)生的總能量，因此不考慮黏性耗散所造成的能量損失，那么阻力對流體所做的功則全部轉(zhuǎn)化成旋渦的旋轉(zhuǎn)動能Ek、渦的壓力勢能Ec以及尾流的動能Et，如式（12）所示
（12）
其中，Ec為壓力勢能，產(chǎn)生的原因是由于旋渦內(nèi)壓力與周圍流體的靜壓p∞存在一個壓力差（p-p∞），壓力差的存在可以抵消旋渦離心力的作用，它是與旋渦相關(guān)的一個參數(shù)值。根據(jù)Malkus[11]的研究，壓力勢能zui后全部轉(zhuǎn)化為旋渦的動能，zui終轉(zhuǎn)化為流體的內(nèi)能，因此壓力勢能是與旋渦結(jié)構(gòu)有關(guān)的量，它們之間存在對應關(guān)系。壓力差產(chǎn)生的壓力勢能由式（13）確定
（13）
式中 V為單個旋渦體積，m3。
2 霧狀流條件下渦街模型的研究
由上面的分析可以看出，Karman渦街作為一種波傳遞時，會遵守機械能守恒，而分布在流場中的旋渦作為Karman渦街的表現(xiàn)形式，需要對其建立數(shù)學模型，以便對單個渦的旋轉(zhuǎn)機械能進行計算。以往的研究者多采用已有的經(jīng)典的渦方程描述Karman渦街中的旋渦[12]，本文采用蘭金渦組合模型近似Karman渦街中的旋渦。Karman渦的旋轉(zhuǎn)速度和壓力分布與蘭金渦非常相似，在不考慮渦的黏度耗散情況下可以近似將Karman渦看作蘭金渦。
2.1 蘭金組合渦模型
蘭金組合渦是將流場分為兩個區(qū)域，假定在無界流體中存在一個半徑為R且無限長的圓柱形渦。在旋渦內(nèi)部（r<R）為有旋渦，稱為受迫渦；在旋渦外部（r>R）存在一個由直線渦感生出來的速度場，稱為自由渦，自由渦為無旋渦。整個流場由受迫渦和自由渦組合而成，這樣的旋渦稱為蘭金組合渦[13]。蘭金渦中速度與壓力的分布如圖3所示。
圖3 蘭金渦速度與壓力分布
把內(nèi)外部的壓力分布和速度分布對照起來看，可知內(nèi)外部的壓力與速度關(guān)系是不同的，在外部速度越大壓力越小，而在內(nèi)部速度小壓力也小。旋渦外部無限遠處壓力為p∞，接近旋渦中心壓力不斷降低，在中心壓力降至zui低值，旋渦邊緣上壓力較無窮遠處壓力p∞存在如式（14）所示關(guān)系，旋渦邊緣上，壓力較無窮遠處壓力p∞下降了
（14）
式中 U0為流體流速，m•s-1。
2.2 連續(xù)相動能分析
用蘭金渦組合的數(shù)學模型計算Karman渦街的旋渦動能，其單個旋渦的旋轉(zhuǎn)動能用式（15）計算
（15）
式中 Γ為速度環(huán)量，m2•s-1；Uv為旋轉(zhuǎn)的環(huán)向速度，m•s-1，Uv/U=1/2[10]。
在一個波長中，Karman渦街總的旋轉(zhuǎn)動能為
（16）
由前面對蘭金渦組合流場壓力的分析可知，因為
（17）
故流場內(nèi)的壓力勢能可用式（18）計算
（18）
因此由式（16）和式（18）可以得到Karman渦街流場壓力勢能與渦旋轉(zhuǎn)動能之間的關(guān)系
（19）
2.3 離散液相動能分析
在以氣相為連續(xù)相的流體中，加入以離散狀態(tài)分布的液相后，旋渦發(fā)生體后形成的Karman渦街尾跡中會伴有液相運動，液相的運動形式也分為旋渦的旋轉(zhuǎn)運動和尾流運動，其運動軌跡與連續(xù)相一致，因此離散相的運動方程與連續(xù)相的運動方程相同，用蘭金渦組合方程計算液相在渦街流場中的旋轉(zhuǎn)動能Ekl為
（20）
式中 β為霧狀流中的液相體積含率；ρl為液相密度，kg•m-3。
旋渦的中心會形成一個低壓區(qū)，使液相粒子大量地向渦核區(qū)集中而不能全部參與旋轉(zhuǎn)。c1為一個量綱1參數(shù)，用來描述旋渦中參與旋轉(zhuǎn)的液滴比率。根據(jù)剛體密度隨半徑r變化的關(guān)系：ρ∝1/r，可假設旋渦中心區(qū)液相達到飽和時有r→0，c1→0；旋渦外圍則有r→R，c1→1。因此c1可以用式（21）計算而得
（21）
式中 k為比例系數(shù)。
由圖2可知，在兩列旋渦之間會形成與主流方向相反的尾流，寬度為b。在波長為λ的尾流中，連續(xù)相動能為
（22）
霧狀流中尾流中液相的動能可以用式（23）計算
（23）
由于壓力勢能與離心力的作用，尾流中液相含率要小于β；c2為比例系數(shù)，其值與c1近似相等。
2.4 模型的建立
以上分別對連續(xù)相和離散相在尾跡流中的動能進行了分析，得到了旋渦動能、尾流動能以及壓力勢能。zui后可以得到含有離散液相的氣體流過旋渦發(fā)生體后，尾跡中總的機械能Eλ為
（24）
其中
每個波長中，總的尾跡機械能與旋渦動能之間存在比例關(guān)系
（27）
由式（9）、式（12）、式（24）、式（27）可以得到式（28），其中R3為旋渦的折算半徑
（28）
上面的公式可以這樣理解：當其他參數(shù)保持不變時，如果k增加那么每個波長的Karman渦街中包含的機械能將提高，截流面上的阻力要做更多的功來滿足尾跡中所需要的能量，因此阻力系數(shù)要相應提高。相同的道理，如果阻力系數(shù)變大，那么旋渦的直徑要相應增加。
Ahlborn用動量方程結(jié)合渦量方程分析了渦街的脫落過程，其中包括渦的產(chǎn)生、傳送、耗散以及對橫向流體的作用。zui后得到了式（29），式（29）反映了渦的形成、渦的耗散以及尾流的運動，其中N為描述渦量梯度的量綱1參數(shù)
（29）
將式（28）代入式（29），得到
（30）
其中
由式（30）可知，如果氣體中不含有離散液相時，ε=1，那么可得到單相流中高Re下，St∞與cd的關(guān)系，St∞可以看作是單相流時的Stanton數(shù)，即
（33）
由式（30）和式（33）得到了霧狀流中St隨液相體積含率的變化關(guān)系
（34）
式（34）描述了氣相中存在離散液相時，St隨液相體積含率變化的關(guān)系。從公式中可以看到，液相體積含率的增加會引起St的增加，這與實驗中得到的結(jié)論是一致的。而且St與氣體密度呈反比，當ρ→∞，St→St∞，表現(xiàn)在渦街流量計測量上則為連續(xù)相密度的增加能夠減小測量誤差，因此在霧狀流測量中提高流體的壓力會減小渦街測量誤差。
2.5 修正模型
渦街流量計通過式（35）計算流量Q，其中，Sp為管道截面積
（35）
將式（34）代入式（35）得到式（36）
（36）
式（36）即為渦街流量計霧狀流測量時的修正模型。
3 試驗驗證
3.1 試驗裝置
為了驗證模型的效果，在多相流裝置上進行了試驗，多相流試驗裝置如圖4所示?？諝鈮嚎s機將空氣壓縮后送入儲氣罐，標準流量傳感器1負責計量氣液混合前儲氣罐送入管道的氣體流量。蓄水罐距離地面30m，提供實驗所需的液相流體，其流量由標準流量傳感器2測得。氣相和液相經(jīng)引射器混合后送入實驗管段，zui后流入分離罐將水和空氣進行分離，空氣由放氣閥排出，水由水泵送回蓄水罐循環(huán)使用。工控機對所有儀表數(shù)據(jù)進行采集和顯示，并對兩個電動調(diào)節(jié)閥進行控制，調(diào)節(jié)氣相和液相的流量。
圖4 多相流試驗裝置
3.2 液相的霧化
實驗中離散液相的產(chǎn)生是靠氣相本身的氣動力將液體的射流或液膜擊碎，以產(chǎn)生大量的細小液滴，這個過程是在圖5中的引射器中完成的?？諝忪F化時，液滴的平均直徑一般用Nukiyama2Tanasawa公式[13]進行計算，其表達式為
（37）
式中 Φ為液滴直徑，m；σ為水的表面張力，N•m-1；ρf為水的密度，kg•m-3；μf為水的黏度，Pa•s；v0為氣體流速，m•s-1；Qf為水的質(zhì)量流量，kg•h-1；Qg為氣體的質(zhì)量流量，kg•h-1。
圖5 引射器原理
通過公式計算得到實驗中液相平均直徑約為300μm。這僅是個粗略值，實際上對液滴直徑的計算不可能很，這是由于霧化的過程受很多不可控制的參數(shù)，如工況條件、噴嘴的粗糙度或噴嘴上的附著物等因素的影響[14-15]。
3.3 試驗方法及結(jié)果
試驗過程中保持管道里氣體的流量為141m3•h-1，水分別以01015、0103、0105、0107、0109、0111、0113m3•h-1流量值注入管道，相對于流體流量所占體積分數(shù)分別為010106%、010213%、010355%、010496%、010638%、010780%、010922%。對不同液相流量下的渦街頻率進行測量。以5000Hz的頻率對電荷放大器產(chǎn)生的正弦信號進行采樣，每次采樣10組數(shù)據(jù)，每組數(shù)據(jù)有104個采樣點，考慮到試驗流量點以及液相體積含率會隨著試驗略有變化，因此進行了多次測量。將得到的采樣點進行Fourier變換得到渦街產(chǎn)生頻率。
表1反映了渦街流量計直接測得的流量與修正模型的計算結(jié)果以及它們與真實流量值之間的誤差。比較結(jié)果表明，修正前渦街流量計測量結(jié)果與真實值相差很大，通過式（35）修正后誤差在10%以內(nèi)，渦街流量計的測量誤差減小了，考慮到氣液兩相流動的復雜性，因此誤差范圍還是令人滿意的。
4 結(jié)論
由于液相的加入，導致渦街流量計在測量霧狀流時測量誤差增加，因此需要對測量值進行修正。本文采用蘭金渦組合模型近似霧狀流流場中旋渦的結(jié)構(gòu)，通過對單個渦的結(jié)構(gòu)、速度場以及壓力場進行分析，運用能量守恒的方法建立了霧狀流中阻力做功與渦街尾跡能量平衡方程，得到了渦街流量計St隨液相體積含率變化的數(shù)學模型，建立了渦街流量計霧狀流測量的修正模型。試驗證明，修正結(jié)果減小了渦街流量計直接測量的誤差。該研究方法相對簡單，計算方便，利于實際應用。